Por dentro dos juros compostos

                       * Conteúdo produzido pelo Porque.com.br para o Meu Bolso em Dia *

Na economia, há pessoas que gastam menos do que recebem e, portanto, poupam a diferença. Elas recebem uma remuneração por abrir mão de consumir esses recursos hoje; é o que chamamos de juros. Da mesma forma, há indivíduos e empresas que gastam mais do que têm à sua disposição, e precisam antecipar um recurso que esperam ter no futuro. Esta antecipação tem um custo, que são justamente os juros.

Na teoria, há dois sistemas de juros: juros simples e juros compostos. Na sequência explicaremos esses conceitos. Na prática, entretanto, o que vale são os juros compostos: todo o mercado financeiro está organizado com base nesse sistema.

Neste texto, mostramos de forma mais detalhada o que são juros, os juros simples e compostos e como isso afeta sua vida financeira, tanto em investimentos quanto em empréstimos.

O que são juros

Quando uma pessoa poupa um dinheiro, ela pode recuperá-lo no futuro com juros. Os juros são a remuneração por abrir mão desse recurso no presente. Suponha que você recebeu 3.000 reais em um mês, mas só gastou 2.500 reais. Você então emprestou esses 500 reais para um amigo, que lhe promete devolver 550 reais depois de um ano. Nesse caso, você receberá 50 reais a título de juros. 

A taxa de juros expressa quanto seu investimento cresceu no tempo, ou seja, o retorno de investir o dinheiro (no exemplo, emprestar para o seu vizinho). Especificamente, é o juro ganho dividido pelo valor investido. No caso, a taxa de juros é 50/500 = 10%.

Taxas de juros envolvem trocas intertemporais. O poupador abre mão de um recurso hoje e é remunerado por isso. O tomador do empréstimo antecipa um recurso que não tem no presente e precisa pagar um preço por tal operação. Esse preço é dado pela taxa de juros.

Note que, para quem poupa, a taxa de juros é o retorno do investimento. Mas, para quem toma emprestado, a taxa de juros informa o custo. No caso do seu amigo, ele tem de pagar 50 reais de juros daqui um ano para antecipar os 500 reais hoje. Uma vez mais, a taxa de juros é de 10%.

Comparar taxas de juros é muito importante para entender que tipo de investimento pode lhe proporcionar um bom retorno, caso você queira fazer uma poupança; e para buscar empréstimos mais vantajosos, caso você precise se endividar.

Por causa do aspecto intertemporal, taxas de juros são expressas como função do tempo. No exemplo acima, você empresta 500 reais ao seu amigo para recuperar 550 reais depois de um ano. A taxa de juros é, portanto, de 10% ao ano.

O que são os juros compostos

Os juros compostos são assim chamados quando os juros cobrados – ou pagos  – incidem sobre o valor principal e sobre os juros de cada período. Vamos retomar o exemplo que usamos acima, do empréstimo ao seu amigo. Vamos supor que ele vá pagar ao final de 2 anos, e vocês combinam que serão juros compostos de 10% ao ano. 

Ao final do primeiro ano, a dívida é de 550 reais, pois são 500 × 10%. Mas, para calcular o valor no segundo ano, a base são os 550 reais, pois os juros do segundo ano vão incidir também sobre os juros do primeiro ano. Assim, a dívida deve ser calculada da seguinte forma:

(550 × 10%) + 550 = 605 reais.

Todo o mercado financeiro está organizado em torno dos juros compostos. Investimentos pagam juros sobre juros; em dívidas, juros também incidem sobre juros. Isso significa que um investimento cresce de maneira exponencial: quanto mais tempo você deixa o dinheiro lá, mais juros são gerados, e mais juros incidem sobre juros. Quanto maior a taxa praticada, mais forte esse crescimento. 

Qual a diferença entre juros simples e juros compostos

No caso dos juros simples, os juros incidem apenas sobre o valor inicial, de maneira fixa. Os juros de cada período não entram no cálculo do próximo período. Essa a grande diferença entre juros simples e juros compostos: 

- Nos juros simples, os juros são cobrados – ou pagos - apenas sobre o valor inicial.

- Nos juros compostos, os juros são cobrados – ou pagos - sobre o valor inicial e sobre os juros do período anterior.

A diferença entre os dois regimes fica clara quando o dinheiro fica investido por mais tempo. Suponha que você coloque aqueles R$ 500 que tinha disponíveis por dois anos em um investimento que lhe promete uma taxa de juros de 10% ao ano. 

Em um sistema de juros simples, a taxa incide apenas sobre o valor investido (o chamado principal). Então tanto no primeiro ano como no segundo você receberá 50 reais a título de juros. No período inteiro, você terá ganhado 100 reais de juros.

Já no sistema de juros compostos, juros incidem não apenas sobre o principal, mas também sobre os juros ganhos no primeiro ano. 

No caso, você receberá os 100 reais, que são os juros sobre o principal, mais um adicional sobre R$ 50 × 10% = R$ 5, que são os juros sobre os juros ganhos no primeiro ano. Então, no fim de dois anos, os juros totais ganhos são iguais R$ 105.

O exemplo trata apenas de dois anos, mas pode ser facilmente generalizado. Quanto maior o prazo em que o dinheiro fica investido, mais juros incidem sobre juros. Isso implica que o dinheiro cresce de maneira exponencial, como veremos a seguir.

Exemplos do poder dos juros compostos

Suponha que você invista um montante P0, e a taxa de juros por ano seja i. No primeiro ano, você receberá P0 multiplicado por i como juros. Ou seja, ao final do ano 1, o valor do seu investimento será o principal (P0) mais estes juros. A conta fica assim:

ANO 1: P1 = P0 + P0 × i  

Agora você reinveste esse valor por mais um ano. Os juros incidirão sobre o montante P1 inteiro, que incorpora os juros recebidos no período anterior. Ou seja, você recebe no segundo ano i multiplicado por  P1 a títulos de juros. Ao final do ano 2 de investimento, você tem o valor do ano anterior, mais estes juros.

ANO 2:  P2 = P1 + i × P1 

Se quiser usar o exemplo anterior, P0 = 500, i = 10%. Vamos aplicar as fórmulas.

ANO 1: P1= 500 + (500 × 10%) = R$ 550.

ANO 2: P2 = 550 + (550 × 10%) = R$ 605.

Podemos aplicar nessas expressões acima uma “simplificação matemática” para tornar a conta aplicável a qualquer período de tempo. Confira abaixo.

ANO 1: P1 = P0 + P0 × i = P0 × (1 + i)

No ano 2,substituímos a expressão do ano 1 acima:

ANO 2:  P2 = P1 (1 + i) = [P0 × (1 + i)] × (1 + i) = P0 × (1 + i)2

Assim, chegamos a uma equação que pode ser usada para qualquer período de tempo.

ANO n:  Pn = P0 × (1 + i)n

A fórmula acima significa que o valor segue um crescimento exponencial de acordo com o tempo de investimento. A expressão “n” é sempre o período do investimento – ou empréstimo. A taxa de crescimento depende da taxa de juros i. Quanto maior i, mais rápido o montante vai aumentar no tempo.

Alguns exemplos numéricos

Considere um exemplo numérico, com os mesmos R$ 500 de investimento, mas sob dois cenários i = 10% e i = 12%. Essas duas taxas parecem muito próximas, mas vejamos o que acontece ao longo do tempo. Depois de 10 anos, o valor do investimento com a taxa mais alta será cerca de 20% maior que o outro; depois de 20 anos, a diferença chega a 43%.

Da mesma forma que o investimento cresce de maneira exponencial, dívidas não saldadas se acumulam dessa mesma forma ao longo do tempo. Esse processo tende a ser particularmente intenso no Brasil, dadas as elevadas taxas de juros para tomar empréstimos. Por exemplo, a uma taxa de juros de 100% ao ano, uma dívida quadruplica depois de 2 anos, e cresce 16 vezes após 4 anos!